病态系统分析理论及其在测量中的应用

cond₂(A)=λ_max(A)/λ_min(A)

若λ近似为0,则观测矩阵A中的列向量间存在近似的线性关系.反映在未知参数中,便是参数间存在着近似线性关系,这种近似的线性关系称为复共线性关系.矩阵病态性可以看作是观测矩阵A的列向量间存在复共线性.

严重复共线性是系统病态性的主要标志之一

诊断病态性的常用方法:

1.     条件数法

2.     特征值分析法

3.     方差扩大因子(VIF)法

4.     行列式判别法

病态性分类:

I类:由于参数存在近似线性关系

II类:由于观测所提供的信息量不足以确定待定参数

最小相对范数K­_f(适合I类病态性)

原矩阵A=(a₁,a₂,…,a_n),G-S按列正交化后B=(b₁,b₂,…,b_n)

令K_i=norm(b_i)/norm(ai),最小相对范数定义为:K_f=min(K₁,K₂,…,K_n)

几何意义及特性:

b_i是a_i垂直于b_h (h<i)的分量,当(a_i,b_h)=0时,norm(b_i)取得最大值norm(a_i)；当a_i与a_h复共线时,norm(b_i)取得最小值0.因此,K_f­有如下特性:

1.     K_f是有界的 [0,1]

2.     K_f的大小反映了a_i与a_h复相关程度.K_f愈大,a_i与a_h复相关程度愈低；K_f愈小,反映了a_i与a_h复相关程度愈高.

诊断A病态性的指标:一是根据采样精度确定的阈值,二是根据谱范数确定的阈值.

H 空间中子空间关系的度量: 暂略

II类病态性的诊断:

观测矩阵的II类病态性是由于观测信息量不足引起的.表现在几何空间中,观测对象的空间结果不合理.形式上看,独立观测的个数多于待定参数的个数,观测矩阵满秩；实质上,这些观测值所提供的信息量不足以确定所有参数,在一定程度上可以说独立观测的个数少于待定参数的个数.